上次我們布置了一道練習(xí)題，現(xiàn)在我們一起來把它的答案求出來。

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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
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如果你還記得我們那個(gè)公共巴士的比喻，那么乘號(hào)左邊的矩陣I代表了我們的巴士I號(hào)線的收費(fèi)表，乘號(hào)右邊的矩陣II代表了II號(hào)線的收費(fèi)表。I是一個(gè)2×2的表格，II也是一個(gè)2×2的表格，我們有理由相信，它們的乘積也應(yīng)該是類似的形式，也是一個(gè)2×2的表格。

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
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但是，那答案到底是什么？我們?cè)撛趺辞蟪鯽bcd這四個(gè)未知數(shù)？更重要的是，I×II的意義是什么呢？

海森堡說，I×II，表示你先乘搭巴士I號(hào)線，然后轉(zhuǎn)乘了II號(hào)線。答案中的a是什么呢？a處在第一行第一列，它也必定表示從A地出發(fā)到A地下車的某種收費(fèi)情況。海森堡說，a，其實(shí)就是說，你搭乘I號(hào)線從A地出發(fā)，期間轉(zhuǎn)乘II號(hào)線，最后又回到A地下車。因?yàn)槭浅朔ǎ运硎?ldquo;I號(hào)線收費(fèi)”和“II號(hào)線收費(fèi)”的乘積。但是，情況還不是那么簡(jiǎn)單，因?yàn)槲覀兊穆肪€可能不止有一種，a實(shí)際代表的是所有收費(fèi)情況的“總和”。

如果這不好理解，那么我們干脆把題目做出來。答案中的a，正如我們已經(jīng)說明了的，表示我搭I(lǐng)號(hào)線從A地出發(fā)，然后轉(zhuǎn)乘II號(hào)線，又回到A地下車的收費(fèi)情況的總和。那么，我們?nèi)绾尉唧w地做到這一點(diǎn)呢？有兩種方法：第一種，我們可以乘搭I(lǐng)號(hào)線從A地到B地，然后在B地轉(zhuǎn)乘II號(hào)線，再從B地回到A地。此外，還有一種辦法，就是我們?cè)贏地上了I號(hào)線，隨即在原地下車。然后還是在A地再上II號(hào)線，同樣在原地下車。這雖然聽起來很不明智，但無疑也是一種途徑。那么，我們答案中的a，其實(shí)就是這兩種方法的收費(fèi)情況的總和。

現(xiàn)在我們看看具體數(shù)字應(yīng)該是多少：第一種方法，我們先乘I號(hào)線從A地到B地，車費(fèi)應(yīng)該是多少呢？我們還記得海森堡的車費(fèi)規(guī)則，那就看矩陣I橫坐標(biāo)為A縱坐標(biāo)為B的那個(gè)數(shù)字，也就是第一行第二列的那個(gè)2，2塊錢。好，隨后我們又從B地轉(zhuǎn)乘II號(hào)線回到了A地，這里的車費(fèi)對(duì)應(yīng)于矩陣II第二行第一列的那個(gè)4。所以第一種方法的“收費(fèi)乘積”是2×4＝8。但是，我們提到，還有另一種可能，就是我們?cè)贏地原地不動(dòng)地上了I號(hào)線再下來，又上II號(hào)線再下來，這同樣符合我們A地出發(fā)A地結(jié)束的條件。這對(duì)應(yīng)于兩個(gè)矩陣第一行第一列的兩個(gè)數(shù)字的乘積，1×1＝1。那么，我們的最終答案，a，就等于這兩種可能的疊加，也就是說，a＝2×4＋1×1＝9。因?yàn)闆]有第三種可能性了。紅外線測(cè)溫儀

同樣道理我們來求b。b代表先乘I號(hào)線然后轉(zhuǎn)乘II號(hào)線，從A地出發(fā)最終抵達(dá)B地的收費(fèi)情況總和。這同樣有兩種辦法可以做到：先在A地上I號(hào)線隨即下車，然后從A地坐II號(hào)線去B地。收費(fèi)分別是1塊（矩陣I第一行第一列）和3塊（矩陣II第一行第二列），所以1×3＝3。還有一種辦法就是先乘I號(hào)線從A地到B地，收費(fèi)2塊（矩陣I第一行第二列），然后在B地轉(zhuǎn)II號(hào)線原地上下，收費(fèi)1塊（矩陣II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最終答案：b＝1×3＋2×1＝5。

大家可以先別偷看答案，自己試著求c和d。最后應(yīng)該是這樣的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：

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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
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很抱歉讓大家如此痛苦不堪，不過我們的確在學(xué)習(xí)新的事物。如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那么我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運(yùn)算規(guī)則才是。圣人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學(xué)到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎(chǔ)吧，讓我們把上面這道題目驗(yàn)算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實(shí)沒有那么乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現(xiàn)在驗(yàn)算一遍II×I：

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┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
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我知道大家都在唉聲嘆氣，不過我還是堅(jiān)持，復(fù)習(xí)功課是有益無害的。我們來看看a是什么，現(xiàn)在我們是先乘搭I(lǐng)I號(hào)線，然后轉(zhuǎn)I號(hào)線了，所以我們可以從A地上II號(hào)線，然后下來。再上I號(hào)線，然后又下來。對(duì)應(yīng)的是1×1。另外，我們可以坐II號(hào)線去B地，在B地轉(zhuǎn)I號(hào)線回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。

喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗(yàn)算里，a＝10，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝9。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯(cuò)？嗯，雖然大家都沒有記筆記，但我還是沒有記錯(cuò)，剛才我們的a＝2×4＋1×1＝9。看來是我算錯(cuò)了，我們?cè)偎阋槐椋@次可要打起精神了：a代表A地上車A地下車。所以可能的情況是：我搭I(lǐng)I號(hào)線在A地上車A地下車（矩陣II第一行第一列），1塊。然后轉(zhuǎn)I號(hào)線同樣在A地上車A地下車（矩陣I第一行第一列），也是1塊。1×1＝1。還有一種可能是，我搭I(lǐng)I號(hào)線在A地上車B地下車（矩陣II第一行第二列），3塊。然后在B地轉(zhuǎn)I號(hào)線從B地回到A地（矩陣II第二行第一列），3塊。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。紅外線測(cè)溫儀

嗯，奇怪，沒錯(cuò)啊。那么難道前面算錯(cuò)了？我們?cè)偎阋槐椋孟褚矝]錯(cuò)，前面a＝1＋8＝9。那么，那么……誰錯(cuò)了？哈哈，海森堡錯(cuò)了，他這次可丟臉了，他發(fā)明了一種什么樣的表格乘法啊，居然導(dǎo)致如此荒唐的結(jié)果：I×II ≠ II×I。

我們不妨把結(jié)果整個(gè)算出來：

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┃ 9 5┃
I×II＝ ┃ 7 10┃
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┏ ┓
┃ 10 5┃
II×I＝ ┃ 7 9┃
┗ ┛

的確，I×II ≠ II×I。這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運(yùn)算至少有點(diǎn)創(chuàng)意的，現(xiàn)在看來浪費(fèi)了大家不少時(shí)間，只好說聲抱歉。但是，慢著，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細(xì)胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。

大家冷靜點(diǎn)，大家冷靜點(diǎn)，海森堡搖晃著他那漂亮的頭發(fā)說，我們必須學(xué)會(huì)面對(duì)現(xiàn)實(shí)。我們已經(jīng)說過了，物理學(xué)，必須從唯一可以被實(shí)踐的數(shù)據(jù)出發(fā)，而不是靠想象和常識(shí)習(xí)慣。我們要學(xué)會(huì)依賴于數(shù)學(xué)，而不是日常語言，因?yàn)橹挥袛?shù)學(xué)才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實(shí)。我們必須認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)：數(shù)學(xué)怎么說，我們就得接受什么。

如果數(shù)學(xué)說I×II ≠ II×I，那么我們就得這么認(rèn)為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場(chǎng)。何況，如果仔細(xì)審查這里面的意義，也并沒有太大的荒謬：先搭乘I號(hào)線，再轉(zhuǎn)II號(hào)線，這和先搭乘II號(hào)線，再轉(zhuǎn)I號(hào)線，導(dǎo)致的結(jié)果可能是不同的，有什么問題嗎？紅外線測(cè)溫儀

好吧，有人諷刺地說，那么牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？

海森堡冷冷地說，牛頓力學(xué)是經(jīng)典體系，我們討論的是量子體系。永遠(yuǎn)不要對(duì)量子世界的任何奇特性質(zhì)過分大驚小怪，那會(huì)讓你發(fā)瘋的。量子的規(guī)則，并不一定要受到乘法交換率的束縛。

他無法做更多的口舌之爭(zhēng)了，1925年夏天，他被一場(chǎng)熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個(gè)小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養(yǎng)。但是他的大腦沒有停滯，在遠(yuǎn)離喧囂的小島上，海森堡堅(jiān)定地沿著這條奇特的表格式道路去探索物理學(xué)的未來。而且，他很快就獲得了成功：事實(shí)上，只要把矩陣的規(guī)則運(yùn)用到經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)公式里去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅(jiān)實(shí)的矩陣磚塊構(gòu)造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導(dǎo)出量子化的原子能級(jí)和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強(qiáng)行附加一個(gè)不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數(shù)學(xué)解釋一切，我們的想象是靠不住的。

雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著什么，無論對(duì)于海森堡，還是當(dāng)時(shí)的所有人來說，都還仍然是一個(gè)謎題，但量子力學(xué)的基本形式卻已經(jīng)得到了突破進(jìn)展。從這時(shí)候起，量子論將以一種氣勢(shì)磅礴的姿態(tài)向前邁進(jìn)，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來的3年是夢(mèng)幻般的3年，是物理史上難以想象的3年，理論物理的黃金年代，終于要放射出它最耀眼的光輝，把整個(gè)20世紀(jì)都裝點(diǎn)得神圣起來。

海森堡后來在寫給好友范德沃登的信中回憶道，當(dāng)他在那個(gè)石頭小島上的時(shí)候，有一晚忽然想到體系的總能量應(yīng)該是一個(gè)常數(shù)。于是他試著用他那規(guī)則來解這個(gè)方程以求得振子能量。求解并不容易，他做了一個(gè)通宵，但求出來的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)符合得非常好。于是他爬上一個(gè)山崖去看日出，同時(shí)感到自己非常幸運(yùn)。紅外線測(cè)溫儀

是的，曙光已經(jīng)出現(xiàn)，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的云彩，在天地間流動(dòng)著奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對(duì)著壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠(yuǎn)方。是的，他知道，this is the moment，他已經(jīng)作出生命中最重要的突破，而物理學(xué)的黎明也終于到來。

*********
飯后閑話：矩陣

我們已經(jīng)看到，海森堡發(fā)明了這種奇特的表格，I×II ≠ II×I，連他自己都沒把握確定這是個(gè)什么怪物。當(dāng)他結(jié)束養(yǎng)病，回到哥廷根后，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評(píng)論評(píng)論。波恩看到這種表格運(yùn)算大吃一驚，原來這不是什么新鮮東西，正是線性代數(shù)里學(xué)到的“矩陣”！回溯歷史，這種工具早在1858年就已經(jīng)由一位劍橋的數(shù)學(xué)家Arthur Cayley所發(fā)明，不過當(dāng)時(shí)不叫“矩陣”而叫做“行列式”（determinant，這個(gè)字后來變成了另外一個(gè)意思，雖然還是和矩陣關(guān)系很緊密）。發(fā)明矩陣最初的目的，是簡(jiǎn)潔地來求解某些微分方程組（事實(shí)上直到今天，大學(xué)線性代數(shù)課還是主要解決這個(gè)問題）。但海森堡對(duì)此毫不知情，他實(shí)際上不知不覺地“重新發(fā)明”了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運(yùn)算的助教約爾當(dāng)隨即在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展了海森堡的理論，進(jìn)一步完善了量子力學(xué)，我們很快就要談到。
數(shù)學(xué)在某種意義上來說總是領(lǐng)先的。Cayley創(chuàng)立矩陣的時(shí)候，自然想不到它后來會(huì)在量子論的發(fā)展中起到關(guān)鍵作用。同樣，黎曼創(chuàng)立黎曼幾何的時(shí)候，又怎會(huì)料到他已經(jīng)給愛因斯坦和他偉大的相對(duì)論提供了最好的工具。

喬治•蓋莫夫在那本受歡迎的老科普書《從一到無窮大》（One, Two, Three…Infinity）里說，目前數(shù)學(xué)還有一個(gè)大分支沒有派上用場(chǎng)（除了智力體操的用處之外），那就是數(shù)論。古老的數(shù)論領(lǐng)域里已經(jīng)有許多難題被解開，比如四色問題，費(fèi)馬大定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今懸而未決。天知道，這些理論和思路是不是在將來會(huì)給某個(gè)物理或者化學(xué)理論開道，打造出一片全新的天地來。

從赫爾格蘭回來后，海森堡找到波恩，請(qǐng)求允許他離開哥廷根一陣，去劍橋講課。同時(shí)，他也把自己的論文給了波恩過目，問他有沒有發(fā)表的價(jià)值。波恩顯然被海森堡的想法給迷住了，正如他后來回憶的那樣：“我對(duì)此著了迷……海森堡的思想給我留下了深刻的印象，對(duì)于我們一直追求的那個(gè)體系來說，這是一次偉大的突破。” 于是當(dāng)海森堡去到英國(guó)講學(xué)的時(shí)候，波恩就把他的這篇論文寄給了《物理學(xué)雜志》（Zeitschrift fur Physik）,并于7月29日發(fā)表。這無疑標(biāo)志著新生的量子力學(xué)在公眾面前的首次亮相。

但海森堡古怪的表格乘法無疑也讓波恩困擾，他在7月15日寫給愛因斯坦的信中說：“海森堡新的工作看起來有點(diǎn)神秘莫測(cè)，不過無疑是很深刻的，而且是正確的。”但是，有一天，波恩突然靈光一閃：他終于想起來這是什么了。海森堡的表格，正是他從前所聽說過的那個(gè)“矩陣”！

但是對(duì)于當(dāng)時(shí)的歐洲物理學(xué)家來說，矩陣幾乎是一個(gè)完全陌生的名字。甚至連海森堡自己，也不見得對(duì)它的性質(zhì)有著完全的了解。波恩決定為海森堡的理論打一個(gè)堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，他找到泡利，希望與之合作，可是泡利對(duì)此持有強(qiáng)烈的懷疑態(tài)度，他以他標(biāo)志性的尖刻語氣對(duì)波恩說：“是的，我就知道你喜歡那種冗長(zhǎng)和復(fù)雜的形式主義，但你那無用的數(shù)學(xué)只會(huì)損害海森堡的物理思想。”波恩在泡利那里碰了一鼻子灰，不得不轉(zhuǎn)向他那熟悉矩陣運(yùn)算的年輕助教約爾當(dāng)（Pascual Jordan,再過一個(gè)禮拜，就是他101年誕辰），兩人于是欣然合作，很快寫出了著名的論文《論量子力學(xué)》（Zur Quantenmechanik），發(fā)表在《物理學(xué)雜志》上。在這篇論文中，兩人用了很大的篇幅來闡明矩陣運(yùn)算的基本規(guī)則，并把經(jīng)典力學(xué)的哈密頓變換統(tǒng)統(tǒng)改造成為矩陣的形式。傳統(tǒng)的動(dòng)量p和位置q這兩個(gè)物理變量，現(xiàn)在成為了兩個(gè)含有無限數(shù)據(jù)的龐大表格，而且，正如我們已經(jīng)看到的那樣，它們并不遵守傳統(tǒng)的乘法交換率，p×q ≠ q×p。紅外線測(cè)溫儀

波恩和約爾當(dāng)甚至把p×q和q×p之間的差值也算了出來，結(jié)果是這樣的：
pq – qp = (h/2πi) I

h是我們已經(jīng)熟悉的普朗克常數(shù)，i是虛數(shù)的單位，代表-1的平方根，而I叫做單位矩陣，相當(dāng)于矩陣運(yùn)算中的1。波恩和約爾當(dāng)?shù)於艘环N新的力學(xué)——矩陣力學(xué)的基礎(chǔ)。在這種新力學(xué)體系的魔法下，普朗克常數(shù)和量子化從我們的基本力學(xué)方程中自然而然地跳了出來，成為自然界的內(nèi)在稟性。如果認(rèn)真地對(duì)這種力學(xué)形式做一下探討，人們會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，牛頓體系里的種種結(jié)論，比如能量守恒，從新理論中也可以得到。這就是說，新力學(xué)其實(shí)是牛頓理論的一個(gè)擴(kuò)展，老的經(jīng)典力學(xué)其實(shí)被“包含”在我們的新力學(xué)中，成為一種特殊情況下的表現(xiàn)形式。

這種新的力學(xué)很快就得到進(jìn)一步完善。從劍橋返回哥廷根后，海森堡本人也加入了這個(gè)偉大的開創(chuàng)性工作中。11月26日，《論量子力學(xué)II》在《物理學(xué)雜志》上發(fā)表，作者是波恩，海森堡和約爾當(dāng)。這篇論文把原來只討論一個(gè)自由度的體系擴(kuò)展到任意個(gè)自由度，從而徹底建立了新力學(xué)的主體。現(xiàn)在，他們可以自豪地宣稱，長(zhǎng)期以來人們所苦苦追尋的那個(gè)目標(biāo)終于達(dá)到了，多年以來如此困擾著物理學(xué)家的原子光譜問題，現(xiàn)在終于可以在新力學(xué)內(nèi)部完美地解決。《論量子力學(xué)II》這篇文章，被海森堡本人親切地稱呼為“三人論文”（Dreimannerarbeit）的，也終于注定要在物理史上流芳百世。

新體系顯然在理論上獲得了巨大的成功。泡利很快就改變了他的態(tài)度，在寫給克羅尼格（Ralph Laer Kronig）的信里，他說：“海森堡的力學(xué)讓我有了新的熱情和希望。”隨后他很快就給出了極其有說服力的證明，展示新理論的結(jié)果和氫分子的光譜符合得非常完美，從量子規(guī)則中，巴爾末公式可以被自然而然地推導(dǎo)出來。非常好笑的是，雖然他不久前還對(duì)波恩咆哮說“冗長(zhǎng)和復(fù)雜的形式主義”，但他自己的證明無疑動(dòng)用了最最復(fù)雜的數(shù)學(xué)。

不過，對(duì)于當(dāng)時(shí)其他的物理學(xué)家來說，海森堡的新體系無疑是一個(gè)怪物。矩陣這種冷冰冰的東西實(shí)在太不講情面，不給人以任何想象的空間。人們一再追問，這里面的物理意義是什么？矩陣究竟是個(gè)什么東西？海森堡卻始終護(hù)定他那讓人沮喪的立場(chǎng)：所謂“意義”是不存在的，如果有的話，那數(shù)學(xué)就是一切“意義”所在。物理學(xué)是什么？就是從實(shí)驗(yàn)觀測(cè)量出發(fā)，并以龐大復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系將它們聯(lián)系起來的一門科學(xué)，如果說有什么圖像能夠讓人們?nèi)菀桌斫夂陀洃浀脑挘且彩强坎蛔〉摹５牵还茉趺礃樱吘咕仃嚵W(xué)對(duì)于大部分人來說都太陌生太遙遠(yuǎn)了，而隱藏在它背后的深刻含義，當(dāng)時(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有被發(fā)掘出來。特別是，p×q ≠ q×p，這究竟代表了什么，令人頭痛不已。

一年后，當(dāng)薛定諤以人們所喜聞樂見的傳統(tǒng)方式發(fā)布他的波動(dòng)方程后，幾乎全世界的物理學(xué)家都松了一口氣：他們終于解脫了，不必再費(fèi)勁地學(xué)習(xí)海森堡那異常復(fù)雜和繁難的矩陣力學(xué)。當(dāng)然，人人都必須承認(rèn)，矩陣力學(xué)本身的偉大含義是不容懷疑的。

但是，如果說在1925年，歐洲大部分物理學(xué)家都還對(duì)海森堡，波恩和約爾當(dāng)?shù)牧W(xué)一知半解的話，那我們也不得不說，其中有一個(gè)非常顯著的例外，他就是保羅•狄拉克。在量子力學(xué)大發(fā)展的年代，哥本哈根，哥廷根以及慕尼黑三地?fù)尡M了風(fēng)頭，狄拉克的崛起總算也為老牌的劍橋挽回了一點(diǎn)顏面。紅外線測(cè)溫儀

保羅•埃德里安•莫里斯•狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）于1902年8月8日出生于英國(guó)布里斯托爾港。他的父親是瑞士人，當(dāng)時(shí)是一位法語教師，狄拉克是家里的第二個(gè)孩子。許多大物理學(xué)家的童年教育都是多姿多彩的，比如玻爾，海森堡，還有薛定諤。但狄拉克的童年顯然要悲慘許多，他父親是一位非常嚴(yán)肅而刻板的人，給保羅制定了眾多的嚴(yán)格規(guī)矩。比如他規(guī)定保羅只能和他講法語（他認(rèn)為這樣才能學(xué)好這種語言），于是當(dāng)保羅無法表達(dá)自己的時(shí)候，只好選擇沉默。在小狄拉克的童年里，音樂、文學(xué)、藝術(shù)顯然都和他無緣，社交活動(dòng)也幾乎沒有。這一切把狄拉克塑造成了一個(gè)沉默寡言，喜好孤獨(dú)，淡泊名利，在許多人眼里顯得geeky的人。有一個(gè)流傳很廣的關(guān)于狄拉克的笑話是這樣說的：有一次狄拉克在某大學(xué)演講，講完后一個(gè)觀眾起來說：“狄拉克教授，我不明白你那個(gè)公式是如何推導(dǎo)出來的。”狄拉克看著他久久地不說話，主持人不得不提醒他，他還沒有回答問題。

“回答什么問題？”狄拉克奇怪地說，“他剛剛說的是一個(gè)陳述句，不是一個(gè)疑問句。”

1921年，狄拉克從布里斯托爾大學(xué)電機(jī)工程系畢業(yè)，恰逢經(jīng)濟(jì)大蕭條，結(jié)果沒法找到工作。事實(shí)上，很難說他是否會(huì)成為一個(gè)出色的工程師，狄拉克顯然長(zhǎng)于理論而拙于實(shí)驗(yàn)。不過幸運(yùn)的是，布里斯托爾大學(xué)數(shù)學(xué)系又給了他一個(gè)免費(fèi)進(jìn)修數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，2年后，狄拉克轉(zhuǎn)到劍橋，開始了人生的新篇章。

我們?cè)谏厦嬲f到，1925年秋天，當(dāng)海森堡在赫爾格蘭島作出了他的突破后，他獲得波恩的批準(zhǔn)來到劍橋講學(xué)。當(dāng)時(shí)海森堡對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)心中還沒有底，所以沒有在公開場(chǎng)合提到自己這方面的工作，不過7月28號(hào)，他參加了所謂“卡皮察俱樂部”的一次活動(dòng)。卡皮察（P.L.Kapitsa）是一位年輕的蘇聯(lián)學(xué)生，當(dāng)時(shí)在劍橋跟隨盧瑟福工作。他感到英國(guó)的學(xué)術(shù)活動(dòng)太刻板，便自己組織了一個(gè)俱樂部，在晚上聚會(huì)，報(bào)告和討論有關(guān)物理學(xué)的最新進(jìn)展。我們?cè)谇懊嬗懻摫R瑟福的時(shí)候提到過卡皮察的名字，他后來也獲得了諾貝爾獎(jiǎng)。

狄拉克也是卡皮察俱樂部的成員之一，他當(dāng)時(shí)不在劍橋，所以沒有參加這個(gè)聚會(huì)。不過他的導(dǎo)師福勒（William Alfred Fowler）參加了，而且大概在和海森堡的課后討論中，得知他已經(jīng)發(fā)明了一種全新的理論來解釋原子光譜問題。后來海森堡把他的證明寄給了福勒，而福勒給了狄拉克一個(gè)復(fù)印本。這一開始沒有引起狄拉克的重視，不過大概一個(gè)禮拜后，他重新審視海森堡的論文，這下他把握住了其中的精髓：別的都是細(xì)枝末節(jié)，只有一件事是重要的，那就是我們那奇怪的矩陣乘法規(guī)則：p×q ≠ q×p。

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飯后閑話：約爾當(dāng)
恩斯特•帕斯庫爾•約爾當(dāng)（Ernst Pascual Jordan）出生于漢諾威。在我們的史話里已經(jīng)提到，他是物理史上兩篇重要的論文《論量子力學(xué)》I和II的作者之一，可以說也是量子力學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)立者。但是，他的名聲顯然及不上波恩或者海森堡。

這里面的原因顯然也是多方面的，1925年，約爾當(dāng)才22歲，無論從資格還是名聲來說，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)及不上元老級(jí)的波恩和少年成名的海森堡。當(dāng)時(shí)和他一起做出貢獻(xiàn)的那些人，后來都變得如此著名：波恩，海森堡，泡利，他們的光輝耀眼，把約爾當(dāng)完全給蓋住了。

從約爾當(dāng)本人來說，他是一個(gè)害羞和內(nèi)向的人，說話有口吃的毛病，總是結(jié)結(jié)巴巴的，所以他很少授課或發(fā)表演講。更嚴(yán)重的是，約爾當(dāng)在二戰(zhàn)期間站到了希特勒的一邊，成為一個(gè)納粹的同情者，被指責(zé)曾經(jīng)告密。這大大損害了他的聲名。紅外線測(cè)溫儀

約爾當(dāng)是一個(gè)作出了許多偉大成就的科學(xué)家。除了創(chuàng)立了基本的矩陣力學(xué)形式，為量子論打下基礎(chǔ)之外，他同樣在量子場(chǎng)論，電子自旋，量子電動(dòng)力學(xué)中作出了巨大的貢獻(xiàn)。他是最先證明海森堡和薛定諤體系同等性的人之一，他發(fā)明了約爾當(dāng)代數(shù)，后來又廣泛涉足生物學(xué)、心理學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)。他曾被提名為諾貝爾獎(jiǎng)得主，卻沒有成功。約爾當(dāng)后來顯然也對(duì)自己的成就被低估有些惱火，1964年，他聲稱《論量子力學(xué)》一文其實(shí)幾乎都是他一個(gè)人的貢獻(xiàn)——波恩那時(shí)候病了。這引起了廣泛的爭(zhēng)議，不過許多人顯然同意，約爾當(dāng)?shù)呢暙I(xiàn)應(yīng)當(dāng)?shù)玫礁嗟某姓J(rèn)。

p×q ≠ q×p。如果說狄拉克比別人天才在什么地方，那就是他可以一眼就看出這才是海森堡體系的精髓。那個(gè)時(shí)候，波恩和約爾當(dāng)還在苦苦地鉆研討厭的矩陣，為了建立起新的物理大廈而努力地搬運(yùn)著這種龐大而又沉重的表格式方磚，而他們的文章尚未發(fā)表。但狄拉克是不想做這種苦力的，他輕易地透過海森堡的表格，把握住了這種代數(shù)的實(shí)質(zhì)。不遵守交換率，這讓我想起了什么？狄拉克的腦海里閃過一個(gè)名詞，他以前在上某一門動(dòng)力學(xué)課的時(shí)候，似乎聽說過一種運(yùn)算，同樣不符合乘法交換率。但他還不是十分確定，他甚至連那種運(yùn)算的定義都給忘了。那天是星期天，所有的圖書館都關(guān)門了，這讓狄拉克急得像熱鍋上的螞蟻。第二天一早，圖書館剛剛開門，他就沖了進(jìn)去，果然，那正是他所要的東西：它的名字叫做“泊松括號(hào)”。

我們還在第一章討論光和菲涅爾的時(shí)候，就談到過泊松，還有著名的泊松光斑。泊松括號(hào)也是這位法國(guó)科學(xué)家的杰出貢獻(xiàn)，不過我們?cè)谶@里沒有必要深入它的數(shù)學(xué)意義。總之，狄拉克發(fā)現(xiàn)，我們不必花九牛二虎之力去搬弄一個(gè)晦澀的矩陣，以此來顯示和經(jīng)典體系的決裂。我們完全可以從經(jīng)典的泊松括號(hào)出發(fā)，建立一種新的代數(shù)。這種代數(shù)同樣不符合乘法交換率，狄拉克把它稱作“q數(shù)”（q表示“奇異”或者“量子”）。我們的動(dòng)量、位置、能量、時(shí)間等等概念，現(xiàn)在都要改造成這種q數(shù)。而原來那些老體系里的符合交換率的變量，狄拉克把它們稱作“c數(shù)”（c代表“普通”）。

“看。”狄拉克說，“海森堡的最后方程當(dāng)然是對(duì)的，但我們不用他那種大驚小怪，牽強(qiáng)附會(huì)的方式，也能夠得出同樣的結(jié)果。用我的方式，同樣能得出xy-yx的差值，只不過把那個(gè)讓人看了生厭的矩陣換成我們的經(jīng)典泊松括號(hào)[x,y]罷了。然后把它用于經(jīng)典力學(xué)的哈密頓函數(shù)，我們可以順理成章地導(dǎo)出能量守恒條件和玻爾的頻率條件。重要的是，這清楚地表明了，我們的新力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)是一脈相承的，是舊體系的一個(gè)擴(kuò)展。c數(shù)和q數(shù)，可以以清楚的方式建立起聯(lián)系來。”

狄拉克把論文寄給海森堡，海森堡熱情地贊揚(yáng)了他的成就，不過帶給狄拉克一個(gè)糟糕的消息：他的結(jié)果已經(jīng)在德國(guó)由波恩和約爾當(dāng)作出了，是通過矩陣的方式得到的。想來狄拉克一定為此感到很郁悶，因?yàn)轱@然他的法子更簡(jiǎn)潔明晰。隨后狄拉克又出色地證明了新力學(xué)和氫分子實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合，他又一次郁悶了——泡利比他快了一點(diǎn)點(diǎn)，五天而已。哥廷根的這幫家伙，海森堡，波恩，約爾當(dāng)，泡利，他們是大軍團(tuán)聯(lián)合作戰(zhàn)，而狄拉克在劍橋則是孤軍奮斗，因?yàn)樵谟?guó)懂得量子力學(xué)的人簡(jiǎn)直屈指可數(shù)。但是，雖然狄拉克慢了那么一點(diǎn)，但每一次他的理論都顯得更為簡(jiǎn)潔、優(yōu)美、深刻。而且，上天很快會(huì)給他新的機(jī)會(huì)，讓他的名字在歷史上取得不遜于海森堡、波恩等人的地位。
現(xiàn)在，在舊的經(jīng)典體系的廢墟上，矗立起了一種新的力學(xué)，由海森堡為它奠基，波恩，約爾當(dāng)用矩陣那實(shí)心的磚塊為它建造了堅(jiān)固的主體，而狄拉克的優(yōu)美的q數(shù)為它做了最好的裝飾。現(xiàn)在，唯一缺少的就是一個(gè)成功的廣告和落成典禮，把那些還在舊廢墟上唉聲嘆氣的人們都吸引到新大廈里來定居。這個(gè)慶典在海森堡取得突破后3個(gè)月便召開了，它的主題叫做“電子自旋”。

我們還記得那讓人頭痛的“反常塞曼效應(yīng)”，這種復(fù)雜現(xiàn)象要求引進(jìn)1/2的量子數(shù)。為此，泡利在1925年初提出了他那著名的“不相容原理”的假設(shè)，我們前面已經(jīng)討論過，這個(gè)規(guī)定是說，在原子大廈里，每一間房間都有一個(gè)4位數(shù)的門牌號(hào)碼，而每間房只能入住一個(gè)電子。所以任何兩個(gè)電子也不能共享同一組號(hào)碼。

這個(gè)“4位數(shù)的號(hào)碼”，其每一位都代表了電子的一個(gè)量子數(shù)。當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)知道電子有3個(gè)量子數(shù)，這第四個(gè)是什么，便成了眾說紛紜的謎題。不相容原理提出后不久，當(dāng)時(shí)在哥本哈根訪問的克羅尼格（Ralph Kronig）想到了一種可能：就是把這第四個(gè)自由度看成電子繞著自己的軸旋轉(zhuǎn)。他找到海森堡和泡利，提出了這一思路，結(jié)果遭到兩個(gè)德國(guó)年輕人的一致反對(duì)。因?yàn)檫@樣就又回到了一種圖像化的電子概念那里，把電子想象成一個(gè)實(shí)實(shí)在在的小球，而違背了我們從觀察和數(shù)學(xué)出發(fā)的本意了。如果電子真是這樣一個(gè)帶電小球的話，在麥克斯韋體系里是不穩(wěn)定的，再說也違反相對(duì)論——它的表面旋轉(zhuǎn)速度要高于光速。

到了1925年秋天，自旋的假設(shè)又在荷蘭萊頓大學(xué)的兩個(gè)學(xué)生，烏侖貝克（George Eugene Uhlenbeck）和古德施密特（Somul Abraham Goudsmit）那里死灰復(fù)燃了。當(dāng)然，兩人不知道克羅尼格曾經(jīng)有過這樣的意見，他們是在研究光譜的時(shí)候獨(dú)立產(chǎn)生這一想法的。于是兩人找到導(dǎo)師埃侖費(fèi)斯特（Paul Ehrenfest）征求意見。埃侖費(fèi)斯特也不是很確定，他建議兩人先寫一個(gè)小文章發(fā)表。于是兩人當(dāng)真寫了一個(gè)短文交給埃侖費(fèi)斯特，然后又去求教于老資格的洛侖茲。洛侖茲幫他們算了算，結(jié)果在這個(gè)模型里電子表面的速度達(dá)到了光速的10倍。兩人大吃一驚，風(fēng)急火燎地趕回大學(xué)要求撤銷那篇短文，結(jié)果還是晚了，埃侖費(fèi)斯特早就給Nature雜志寄了出去。據(jù)說，兩人當(dāng)時(shí)懊惱得都快哭了，埃侖費(fèi)斯特只好安慰他們說：“你們還年輕，做點(diǎn)蠢事也沒關(guān)系。”

還好，事情并沒有想象的那么糟糕。玻爾首先對(duì)此表示贊同，海森堡用新的理論去算了算結(jié)果后，也轉(zhuǎn)變了反對(duì)的態(tài)度。到了1926年，海森堡已經(jīng)在說：“如果沒有古德施密特，我們真不知該如何處理塞曼效應(yīng)。”一些技術(shù)上的問題也很快被解決了，比如有一個(gè)系數(shù)2，一直和理論所抵觸，結(jié)果在玻爾研究所訪問的美國(guó)物理學(xué)家托馬斯發(fā)現(xiàn)原來人們都犯了一個(gè)計(jì)算錯(cuò)誤，而自旋模型是正確的。很快海森堡和約爾當(dāng)用矩陣力學(xué)處理了自旋，結(jié)果大獲全勝，很快沒有人懷疑自旋的正確性了。

哦，不過有一個(gè)例外，就是泡利，他一直對(duì)自旋深惡痛絕。在他看來，原本電子已經(jīng)在數(shù)學(xué)當(dāng)中被表達(dá)得很充分了——現(xiàn)在可好，什么形狀、軌道、大小、旋轉(zhuǎn)……種種經(jīng)驗(yàn)性的概念又幽靈般地回來了。原子系統(tǒng)比任何時(shí)候都像個(gè)太陽系，本來只有公轉(zhuǎn)，現(xiàn)在連自轉(zhuǎn)都有了。他始終按照自己的路子走，決不向任何力學(xué)模型低頭。事實(shí)上，在某種意義上泡利是對(duì)的，電子的自旋并不能想象成傳統(tǒng)行星的那種自轉(zhuǎn)，它具有1/2的量子數(shù)，也就是說，它要轉(zhuǎn)兩圈才露出同一個(gè)面孔，這里面的意義只能由數(shù)學(xué)來把握。后來泡利真的從特定的矩陣出發(fā)，推出了這一性質(zhì)，而一切又被偉大的狄拉克于1928年統(tǒng)統(tǒng)包含于他那相對(duì)論化了的量子體系中，成為電子內(nèi)稟的自然屬性。

但是，無論如何，1926年海森堡和約爾當(dāng)?shù)某晒Σ粌H是電子自旋模型的勝利，更是新生的矩陣力學(xué)的勝利。不久海森堡又天才般地指出了解決有著兩個(gè)電子的原子——氦原子的道路，使得新體系的威力再次超越了玻爾的老系統(tǒng)，把它的疆域擴(kuò)大到以前未知的領(lǐng)域中。已經(jīng)在迷霧和荊棘中彷徨了好幾年的物理學(xué)家們這次終于可以揚(yáng)眉吐氣，把長(zhǎng)久郁積的壞心情一掃而空，好好地呼吸一下那新鮮的空氣。

但是，人們還沒有來得及歇一歇腳，欣賞一下周圍的風(fēng)景，為目前的成就自豪一下，我們的快艇便又要前進(jìn)了。物理學(xué)正處在激流之中，它飛流直下，一瀉千里，帶給人暈眩的速度和刺激。自牛頓起250年來，科學(xué)從沒有在哪個(gè)時(shí)期可以像如今這般翻天覆地，健步如飛。量子的力量現(xiàn)在已經(jīng)完全蘇醒了，在接下來的3年間，它將改變物理學(xué)的一切，在人類的智慧中刻下最深的烙印，并影響整個(gè)20世紀(jì)的面貌。

當(dāng)烏侖貝克和古德施密特提出自旋的時(shí)候，玻爾正在去往萊登（Leiden）的路上。當(dāng)他的火車到達(dá)漢堡的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)泡利和斯特恩（Stern）站在站臺(tái)上，只是想問問他關(guān)于自旋的看法，玻爾不大相信，但稱這很有趣。到達(dá)萊登以后，他又碰到了愛因斯坦和埃侖費(fèi)斯特，愛因斯坦詳細(xì)地分析了這個(gè)理論，于是玻爾改變了看法。在回去的路上，玻爾先經(jīng)過哥廷根，海森堡和約爾當(dāng)站在站臺(tái)上。同樣的問題：怎么看待自旋？最后，當(dāng)玻爾的火車抵達(dá)柏林，泡利又站在了站臺(tái)上——他從漢堡一路趕到柏林，想聽聽玻爾一路上有了什么看法的變化。

人們后來回憶起那個(gè)年代，簡(jiǎn)直像是在講述一個(gè)童話。物理學(xué)家們一個(gè)個(gè)都被洪流沖擊得站不住腳：節(jié)奏快得幾乎不給人喘息的機(jī)會(huì)，爆炸性的概念一再地被提出，每一個(gè)都足以改變整個(gè)科學(xué)的面貌。但是，每一個(gè)人都感到深深的驕傲和自豪，在理論物理的黃金年代，能夠扮演歷史舞臺(tái)上的那一個(gè)角色。人們常說，時(shí)勢(shì)造英雄，在量子物理的大發(fā)展時(shí)代，英雄們的確留下了最最偉大的業(yè)績(jī)，永遠(yuǎn)讓后人心神向往。紅外線測(cè)溫儀

回到我們的史話中來。現(xiàn)在，花開兩朵，各表一支。我們?nèi)タ纯戳孔诱撌侨绾窝刂硪粭l完全不同的思路，取得同樣偉大的突破的。